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灯泡开关 Ⅱ : 分情况讨论

题目描述


这是 LeetCode 上的 672. 灯泡开关 Ⅱ ,难度为 中等


Tag : 「脑筋急转弯」、「找规律」


房间中有 n 只已经打开的灯泡,编号从 1n 。墙上挂着 4 个开关 。


4 个开关各自都具有不同的功能,其中:



  • 开关 1 :反转当前所有灯的状态(即开变为关,关变为开)
  • 开关 2 :反转编号为偶数的灯的状态(即 2, 4, ...
  • 开关 3 :反转编号为奇数的灯的状态(即 1, 3, ...
  • 开关 4 :反转编号为 j = 3k + 1 的灯的状态,其中 k = 0, 1, 2, ...(即 1, 4, 7, 10, ...

你必须 恰好 按压开关 presses 次。每次按压,你都需要从 4 个开关中选出一个来执行按压操作。


给你两个整数 npresses,执行完所有按压之后,返回 不同可能状态 的数量。


示例 1:


输入:n = 1, presses = 1

输出:2

解释:状态可以是:
- 按压开关 1 ,[关]
- 按压开关 2 ,[开]

示例 2:


输入:n = 2, presses = 1

输出:3

解释:状态可以是:
- 按压开关 1 ,[关, 关]
- 按压开关 2 ,[开, 关]
- 按压开关 3 ,[关, 开]

示例 3:


输入:n = 3, presses = 1

输出:4

解释:状态可以是:
- 按压开关 1 ,[关, 关, 关]
- 按压开关 2 ,[关, 开, 关]
- 按压开关 3 ,[开, 关, 开]
- 按压开关 4 ,[关, 开, 开]

提示:



  • 1<=n<=10001 <= n <= 10001<=n<=1000
  • 0<=presses<=10000 <= presses <= 10000<=presses<=1000

分情况讨论


记灯泡数量为 nnn(至少为 111),翻转次数为 kkk(至少为 000),使用 1 代表灯亮,使用 0 代表灯灭。


我们根据 nnn 和 kkk 的数值分情况讨论:



  • 当 k=0k = 0k=0 时,无论 nnn 为何值,都只有起始(全 1)一种状态;
  • 当 k>0k > 0k>0 时,根据 nnn 进一步分情况讨论:

    • 当 n=1n = 1n=1 时,若 kkk 为满足「k>0k > 0k>0」的最小值 111 时,能够取满「1/0」两种情况,而其余更大 kkk 值情况能够使用操作无效化(不影响灯的状态);
    • 当 n=2n = 2n=2 时,若 k=1k = 1k=1,能够取得「11/10/01」三种状态,当 k=2k = 2k=2 时,能够取满「11/10/01/00」四种状态,其余更大 kkk 可以通过前 k−1k - 1k1 步归结到任一状态,再通过最后一次的操作 111 归结到任意状态;
    • 当 n=3n = 3n=3 时,若 k=1k = 1k=1 时,对应 444 种操作可取得 444 种方案;当 k=2k = 2k=2 时,可取得 777 种状态;而当 k=3k = 3k=3 时可取满 23=82^3 = 823=8 种状态,更大的 kkk 值可通过同样的方式归结到取满的 888 种状态。
    • 当 n>3n > 3n>3 时,根据四类操作可知,灯泡每 666 组一循环(对应序列 k + 12k + 22k + 13k + 1),即只需考虑 n<=6n <= 6n<=6 的情况,而 n=4n = 4n=4、n=5n = 5n=5 和 n=6n = 6n=6 时,后引入的灯泡状态均不会产生新的组合(即新引入的灯泡状态由前三个灯泡的状态所唯一确定),因此均可归纳到 n=3n = 3n=3 的情况。



Java 代码:


class Solution {
public int flipLights(int n, int k) {
if (k == 0) return 1;
if (n == 1) return 2;
else if (n == 2) return k == 1 ? 3 : 4;
else return k == 1 ? 4 : k == 2 ? 7 : 8;
}
}

TypeScript 代码:


function flipLights(n: number, k: number): number {
if (k == 0) return 1
if (n == 1) return 2
else if (n == 2) return k == 1 ? 3 : 4;
else return k == 1 ? 4 : k == 2 ? 7 : 8;
};


  • 时间复杂度:O(1)O(1)O(1)
  • 空间复杂度:O(1)O(1)O(1)

最后


这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.672 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。


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作者:宫水三叶的刷题日记
链接:https://juejin.cn/post/7143438427050999838
来源:稀土掘金
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